UNIÓN Y SEPARACIÓN

“Un conjunto es una agrupación en un todo de objetos distintos y definidos de nuestra intuición o de nuestro pensamiento” (Cantor)

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Unión
Semántica

Unir dos expresiones cerradas del mismo tipo (serie o paralela, es decir, secuencia o conjunto) es crear una nueva expresión cerrada formada por los componentes de ambas expresiones y también del mismo tipo.


Sintaxis

(x ∪ y) ó x∪y // unión de x e y


Definición

Unión de dos secuencias:

⟨( (x∪y = (x↓ y↓)) ← (x/sec ∧ y/sec) )⟩

siendo ⟨( x/sec = ( x↓ )=x )⟩

Unión de conjuntos:

⟨( (x∪y = {x↓ y↓}) ← (x/conj ∧ y/conj) )⟩

siendo ⟨( x/conj = {x↓}=x )⟩


Justificación

La unión se corresponde con la capacidad de la mente de agrupar varias entidades en otra entidad de nivel superior.


Ejemplos

1. ((a b c) ∪ (d e)) // ev. (a b c d e)
   
   
2. (abc ∪ de) // ev. abcde
   
   
3. ({a b c} ∪ {d e}) // ev. {a b c d e}
   
   
4. {a b c}∪{a b}) // ev. {a b c}
   
   
5. ((a+b c+d) ∪ (s t)) // ev. (a+b c+d s t)
   
   
6. ((a+b+) ∪ (c+d)) // ev. (a+b+c+d)
   
   
7. (a ∪ b ∪ c) // ev. (a b c) eq. abc
   
   
8. ({a} ∪ {b} ∪ {c}) // ev. {a b c}
   
   
9. (a/b) ∪ (c/d) // ev. (a/b c/d)

Observaciones

• La condición (( x↓ )=x) la cumplen las secuencias. La condición ({x↓}=x) la cumplen los conjuntos.
  
  
• Cuando los operandos son expresiones de distinto tipo, el resultado es el mismo (pues la operación no puede realizarse). Ejemplo:
  
  ({a b c} ∪ (u v)) // se autoevalúa
  
  
• La unión sólo afecta al primer nivel de la jerarquía de las expresiones:
  
  {{a b} {c d}} ∪ {e f} // ev. {{a b} {c d} e f}
  
  
• La operación de unión es genérica, yendo más allá de la "unión de conjuntos" clásica, pues la unión opera sobre expresiones cerradas en general y no sólo sobre conjuntos.
  
  
• Los argumentos de la unión pueden ser átomos. En este caso, hay que tener en cuenta que si x es un átomo, (x↓ = x). Por ejemplo,
  
  (a ∪ b) // ev. (a b) ev. ab pues (a↓ = a) y (b↓ = b)
(abc ∪ d) // ev. abcd

Propiedades

1. ⟨( (x∪y ≡ y∪x) ← ({x↓}=x ∧ {y↓}=y) )⟩
   
   Hay conmutatividad sólo en el caso de conjuntos.
   
   
2. Asociatividad.
   
   ⟨(((x ∪ y) ∪ z) ≡ (x ∪ (y ∪ z)))
   
   Ejemplo:
   
   ((a b) ∪ ((c d) ∪ (e f))) // ev. (a b) ∪ (c d e f)) // ev. (a b c d e f)

((a b) ∪ (c d)) ∪ (e f)) // ev. (a b c d) ∪ (e f)) // ev. (a b c d e f)
   
   
3. ⟨( (x∪x = xx) ← (x↓ = x) )⟩ // unión de átomos
   
   Esta expresión es equivalente a ⟨( (x∪x = xx) ← (x# = 1) )⟩
   
   
4. ⟨( (x ∪ θ) = x )⟩
   
   
5. ⟨( (θ ∪ x) = x )⟩
   
   
6. ⟨( ((x ∪ x) = x) ← ({x↓}=x) )⟩

Unión Contraria: Separación
Semántica

La operación contraria a unión se denomina “separación”. Como la operación de unión no es conmutativa en el caso de las secuencias, hay separación a la izquierda y a la derecha.

En el caso de conjuntos, la separación a la izquierda y a la derecha coinciden.


Sintaxis

(x ∪' y) // separación a la derecha
(x '∪ y) // separación a la izquierda


Definición

• Separación a la derecha en secuencias:
  
  ⟨ ( (x ∪' y) = ( [x\[1…(x# − y#)]]) ) ←
([x\⌊(x# − y# + 1) … x#)⌋) = y\[(1…y#)]]) ∧
(x/sec ∧ y/sec) ⟩
  
  Se supone que x# > y#. Se seleccionan los x#−y# primeros elementos de x. La condición es que los elementos de y coincidan con los elementos de x.
  
  
• Separación a la izquierda en secuencias:
  
  ⟨ ( (x '∪ y) = ( [x\[(x# − y# +1) … x#)]]) ) ←
([x\⌊(1 … y#)⌋) = y\⌊(1 … y#)⌋) ∧
(x/sec ∧ y/sec) ⟩
  
  
• Separación en conjuntos:
  
  ⟨ ( (x ∪' y) = x/[[y↓]=θ] )←(x/conj ∧ y/conj) ⟩
  
  Se eliminan de x los elementos de y que existen en x.

Ejemplos con secuencias

1. ((a b c d) ∪' (c d)) // ev. (a b)
   pues ((a b) ∪ (c d)) ev. (a b c d)
   
   
2. ((a b c d) '∪ (a b)) // ev. (c d)
   pues ((a b) ∪ (c d)) ev. (a b c d)
   
   
3. (abcd ∪' cd) // ev. ab
   
   
4. (abcd '∪ cd) // ev. cd

Ejemplos con conjuntos

1. ({a b c d} ∪' {c d}) // ev. {a b}
   
   
2. ({a b c d} ∪' {e f}) // ev. {a b c d}
   
   
3. ({a b c d} ∪' {a b e f}) // ev. {c d}

Propiedades

1. ⟨( ((x ∪' y) = z) ↔ (x = (z ∪ y)) )⟩ // separación a la derecha

⟨( ((x '∪ y) = z) ↔ (x = (y ∪ z)) )⟩ // separación a la izquierda
   
   
2. ⟨( (x ∪ y) ∪' y) = x )⟩ // por la definición

⟨( (x ∪ y) '∪ x) = y )⟩ // id.
   
   
3. ⟨( (x ∪' y) ≡ (x '∪ y)) ← ({ x↓ }=x) ∧ { y↓ }=y) )⟩
   
   La separación a la izquierda y a la derecha son equivalentes en el caso de conjuntos.
   
   
4. ⟨( (x ∪' x) = θ )⟩ // pues ⟨( θ∪x = x )⟩

⟨( (x '∪ x) = θ )⟩ // pues ⟨( x∪θ = x )⟩
   
   
5. ⟨( (x ∪' θ) = x )⟩ // por la definición
⟨( (x '∪ θ) = x )⟩ // id.